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連分數與不定方程

來源:不詳       更新時間:2013-3-10 21:44:12
 

  作者:學夫子
  
  今天說的,是關于連分數里一個很古老的內容,那就是關于不定方程ax+by=c的解,其大體思想就是對分數a/b進行連分數展開,利用該連分數的最后兩個漸進分數對其求解,相關的概念請先參考《連分數及其幾何意義》。
  
  我們首先還得介紹連分數的一個性質,假設數M展開后的連分數為:
  
  為了方便,我們一般寫成下面的濃縮形式:
  
  對于一個有理數,其連分數的項數是有限的,除外都是無限的,假設其第k個漸進分數為pk/qk,那么有下面的性質
  
  。……………………………………①
  
  比如0.5306的連分數及其對應的漸進分數:
        
  2×8-1×15=1;15×9-8×17=-1;17×26-9×49=1;……
  
  證明過程網上很多,比如維基百科里的詞條《連分數》。
  
  我們現在回過頭來看我們的不定方程ax+by=c(a和b為互質的整數)。我們必須先明白這樣一個道理:
  
  對于不定方程ax+by=c,若a和b互質,則此不定方程一定有整數解,若(x0,y0)是這個方程的一個解,則此方程的解可表為:(x0-bt,y0+at),其中t為任意整數。所以解此類不定方程就歸結為求解初始解的問題。
  
  現在將a/b展開為連分數形式,由于a/b為有理數,所以其連分數項數必定有限,現在設最后兩個漸進分數為:
  
  實際上最后一個漸進分數就是a/b本身,由于他們都是最簡分數,所以pk=a,qk=b。根據式子①我們有:
  
  為了方便,我們取+1,,對于-1的情況,可依葫蘆畫葫蘆。即aqk-1-bpk-1=1,帶入不定方程ax+by=c,然后化簡得到:
  
  也就是說,(cqk-1,-cpk-1)是該不定方程的一個解,那么整個不定方程的解就是:
  
  將上式的x和y都解出來:
  
  這就是這個不定方程ax+by=c的解的結構。當然,上面的所有,都是當式子①中取1的時候,若取的是-1,則另當別論。而是取-1還是1是由a/b連分數的項數決定,若項數為偶數,則為1,若是奇數,則為

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