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一個有關勾股定理的猜想

來源:不詳       更新時間:2012-12-6 12:18:16
 

  摘要:本文通過對勾股定理證明的學習,由此引出一個猜想:以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正多邊形的面積和等于以斜邊為邊長的正多邊形的面積。并對此進行了論證,由此得出了四個定理及一個猜想。
  
  關鍵詞:勾股定理,正多邊形,直角三角形,面積
  
  在無限攀登的學習過程中,我接觸到了勾股定理,并對其證明產生了濃厚的興趣,由此產生了一個大膽的想法:既然以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積,那么以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正多邊形的面積和會等于以斜邊為邊長的正多邊形的面積嗎?帶著這個想法,在老師的指導下,我嘗試著做了以下的論證:
  

             圖1

  勾股定理:在一個直角三角形中,若兩直角邊分別為a、b,斜邊為c,則a2+b2=c2
  
  正三角形的面積:如圖2,一個正三角形的邊長為a,則
  
  由勾股定理可得其高可表示為:則面為:
    
  圖2
  
  正六邊形的面積:如圖3,一個正六邊形的邊長為a,作它的三條對角線,則正六邊形被分成了六個邊長為的
  
  正三角形,故面積為:
  
  圖3
  
  正八邊形的面積:如圖4,一個正八邊形的邊長為a,作它的兩條對角線,則正八邊形被分成了兩個全等的等腰梯形和一個矩形,故面積為:
  
  圖4
  
  定理一:以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正三角形的面積和等于以斜邊為邊長的正三角形的面積。
  
  證明:一個直角三角形的兩直角邊分別為a、b,斜邊為c,以這三邊為邊長所作的正三角形的面積分別為:
  
  則:
  
  即:以直角三角形的兩直角邊為邊長的兩個正三角形的面積和等于以斜邊為邊

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