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Riemann 猜想漫談(八)

來源:不詳       更新時間:2012-10-14 13:35:14
 

  作者:盧昌海
  
  圍捕零點
  
  時下流行一種休閑方式叫做DIY(DoItYourself),講究自己動手做一些原本只有工匠才做的東西,比方說自己動手做件陶器什么的。在像我這樣懶散的人看來這簡直比工作還累,可如今許多人偏偏就興這個,或許是領悟了負負得正(累累得閑?)的道理吧。既是大勢如此,我們也樂得共襄盛舉,安排“休閑”一下,讓大家親自動手用Riemann-Siegel公式來計算一個Riemannζ函數的非平凡零點。
  
  DIY一般有個特點,那就是課題本身看起來雖頗見難度,實際做起來卻通常是撿其中相對簡單的來做(以免打擊休閑的積極性)。我們計算零點也是如此,挑其中相對簡單——即容易計算——的非平凡零點來計算。那么什么樣的非平凡零點比較容易計算呢?顯然是那些聽Riemann的話,乖乖躺在臨界線上的——因為不在臨界線上的非平凡零點即便有也絕不可能容易計算,否則Riemann猜想早被推翻了。
  
  如我們在上節中所見,Riemann-Siegel公式包含了許多計算量很大的東西,其中最令人頭疼的是求和,因為它使計算量成倍地增加。不過幸運的是那個求和是對n2<(t/2π)的自然數n進行的,因此如果t<8π≈25,求和就只有n=1一項。這顯然是比較簡單的,因此我們狡猾的目光就盯在了這一區間上。在這一區間上,Riemann-Siegel公式簡化成為:
  
  Z(t)=2cos[θ(t)]+R(t)
  
  這就是我們此次圍捕零點的工具。
  
  在正式圍捕之前,我們先做一點火力偵察——粗略地估計一下獵物的位置。我們要找的是使Z(t)為零的點,直接尋找顯然是極其困難的,但我們注意到2cos[θ(t)](通常被稱為主項)在θ(t)=(m+1/2)π時為零(m為整數),這是一個不錯的出發點。由上節中θ(t)的表達式不難證明,在所有這些使2cos[θ(t)]為零的θ(t)中,θ=-π/2(即m=-1)是使t在t<25中取值最小的(當然,別忘了t是正實數),它所對應的t為t≈14.5。這是我們關于零點的第一個估計值。純以數值而論,它還算不錯,相對誤差約為百分之三。
  
  接下來我們對這個估計值進行一次修正。修正的理由是顯而易見的,因為t≈14.5時R(t)明顯不為零。為了計算R(t),我們注意到t≈14.5時(t/2π)1/2≈1.5,因此R(t)中的參數N——即(t/2π)1/2的整數部分——為1,p——即(t/2π)1/2的分數部分——約為0.5。由此可以求出R(t)中的第一項——即C0(t/2π)-1/4——約為0.3。
  
  為了抵消這額外的0.3,我們需要對t進行修正,使2cos[θ(t)]減少0.3。我們采用最簡單的線性近似Δt≈Δ{2cos[θ(t)]}/{2cos[θ(t)]}'來計算這一修正值。為此注意到2cos[θ(t)]在t≈14.5處的導數{2cos[θ(t)]}'為-2θ'(t)sin[θ(t)]≈-2(1/2)ln(14.5/2π)sin(-π/2)≈0.83。由此可知t需要修正為t+Δt≈14.5-0.3/0.83≈14.14。這個數值與零點的實際值之間的相對誤差僅為萬分之四。但是需要提醒讀者的是,這種估計——無論從數值上講多么高明——都不足以證明零點的存在,而至多只能作為圍捕零點前的火力偵察。
  
  那么究竟怎樣才能證明零點的存在呢?我們在上節中已經敘述了基本思路,那就是通過計算Z(t)的符號,如果Z(t)在臨界線上某兩點的符號相反,就說明Riemannζ函數在這兩點之間存在零點。我們上面所做的估計就是為這一計算做準備的。現在我們就來進行這樣的計算。由于我們已經估計出在t=14.14附近可能存在零點,因此我們就在14.1≤t≤14.2的區間上撒下一張小網。如果我們的計算表明Z(t)在這一區間的兩端,即t=14.1與t=14.2,具有不同的符號,那就證明了Riemannζ函數在t=14.1與t=14.2之間存在零點[注一]。
  
  下面我們就來進行計算:
  
  對于t=14.1,(t/2π)1/2≈1.498027,θ(t)≈-1.742722。因而主項2cos[θ(t)]≈-0.342160,剩余項R(t)中p≈0.498027,從而其中第一項(即C0項)為C0(t/2π)-1/4≈0.312671。由

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