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任意實數對的歐氏對局

來源:不詳       更新時間:2012-9-28 12:23:15
 

  作者:學夫子

 

       前不久我們在《歐氏對局》的兩篇文章里介紹了歐氏對局,任意給定兩個不相等的數m和n,且n>m采用歐氏對局的規則,將有下面的結論
  
  我們的歐氏對局限制在自然數的范圍,將會有上面的結果,我們驚奇地發現,決定歐氏對局的,竟然是黃金分割比!詳細可以參考相關文章。如果我們今天將思路擴展一下,最先的數不限制在自然數,而是一切實數的話,結果會怎樣?
  
  我們要注意的是,對于任意的兩個實數,按照歐氏對局的規則不一定就會出現零,比如
  
  π,3,π-3,6-π,9-2π,5π-12,……
  
  但是也有可能出現零,比如1.5和2.3
  
  2.3,1.5,0.8,0.7,0.1,0.6,0.5,0.4,0.1,0.3,0.2,0.1,0.1,0
  
  再比如1/3和1/5
  
  1/3,1/5,2/15,1/15,1/15,0
  
  實際上我們可以看到,如果n和m都是有理數的話,最終會出現零,因為將兩個有理數化為同分母的分數以后,最終相減的只是分子在相減,實際上也就相當于兩個自然數的情況。但是若兩個數是無理數,也有可能出現零,比如√2和2√2,最終就會出現零。假設最終出現的是0和a,其中a為實數,反推回去就會知道,不可能出現無理數,也就是無理數的最終結果一定是無理數。如果a為無理數,則最初的數對只可能是(ka,ha)其中k和h均為整數的形式,換句話說,只要n/m是一個有理數,那最終結果就可以分出勝負。那么這種情況下的勝負情況又是如何?是否和自然數的勝負情況一樣的呢?
  
  1:假設n和m均為有理數,將他們化成同分母的分數m=g/p,n=h/p。我們可以看到,最終的操作其實只是在分子上進行,所以結果的勝敗也就是等同于g和h,而g/h=m/n,所以我們可以看到,這種情況仍然滿足結論。
  
  2:如果n和m都是無理數,并且n/m是有理數,那么可以令n=pa,m=qa,其中a為一個無理數,所以實際上后面的進行過程都只是在p和q之間進行,因為a一直都被帶著走,而p/q=n/m,所以可以說在這種情況下,仍然滿足歐氏對局的結論。
  
  實際上上面所有的討論過程可以歸結為:數對(m,n)的勝敗與(am,an)的勝敗是一樣的,因為每一步你都可以把公因式帶著走。這也符合我們的結論,即勝敗只取決于這兩個數的比值。以一個例子說明吧:
  
  (1/3a,0.5a)=(2/6a,3/6a)→(2/6a,1/6a)→(1/6a,1/6a)→(0,1/6a)
  
  大家可以看到,實際上整個過程就是數對(1,2)的對局過程,而對于1/6a至始至終都跟著走的。不管a是整數有理數還是實數,甚至于是一個多項式,都是一樣的道理,所以對于實數對(n,m)的歐氏對局,我們依然有下面的結論:
  
  1:若n/m不是有理數,則這樣的歐氏對局不可能會有結果。
  
  2:若n=m,則先手為勝。
  
  3:若n≠m,n>m,且n/m為有理數,則:
  
  

來源:學夫子數學博客

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