作者：佚名
黃金斐氏數列，我在前面的文章中已經介紹過，也就是下面的數列
1，γ，γ2，γ3，γ4，γ5，γ6，……，γk，γk+1，……
其中γ=1.618……，也就是著名的黃金分割比，通常我們用δ表示另外一個黃金分割比0.618……，即：
正如大家所看到的，這個數列既是斐氏數列，又是等比數列，除了在上面的數列中每一項乘以一個常數以外，這是唯一滿足既是斐氏數列又是等比數列的數列。所以等比數列滿足的性質在這里也滿足。
一般的斐氏數列，后一項與前一項的比值是交叉地接近γ，而這個數列永遠都是等于γ。在斐氏數列F(0,1)，即首項為0和1的數列中，具有下面的性質：
(Fn)2=Fn-1Fn+1±1
也就是任意一項的平方與前后兩項的乘積有1的偏差，在其他斐氏數列中都有一定的偏差，這剛好造就了著名的一道數學謎題的形成。但是在黃金斐氏數列中，就沒有偏差，我想大家都能夠看出來，因為這恰好是等比數列的一個性質。由此你也看出等比數列與斐氏數列的關系所在，等比數列滿足：
(Fn)2=Fn-1Fn+1
黃金斐氏數列就是連接這兩種數列的紐帶。
另外一個方面，任意一個斐氏數列，如果你從首項開始，繼續往另一個方向寫，幾乎都會出現負數的吧！比如：
以6和4開始，按照相反的方向書寫其數列：6,4,2,2,0,2,-2,4,-6,……從后面往前看就是一個斐氏數列。再則從1.618和1開始寫：1.618,1,0.618,0.382,0.236,0.146,0.090,0.056,0.034,0022,0.012,0.010,0.002,0.008,-0.006,……
但是黃金斐氏數列是個例外，他永遠也不會出現負數。如果你繼續寫下去，其數列就會變成下面的：|
……，δk+1，δk，……，δ6，δ5，δ4，δ3，δ2，δ，1，γ，γ2，γ3，γ4，γ5，γ6，……，γk，γk+1，……
所以他永遠都不會出現負數，盡管越來越接近于負數。說白了這也是等比數列所造就。下面我們將證明，滿足這個條件的數列也非黃金斐氏數列莫屬。實際上我們可以證明的，這個性質的證明過程也是充滿意義。
證明黃金斐氏數列的獨一無二
證明：假設最開始的兩個數為a，b，a>b>0，我們反寫出這個數列，即用前一個數減去后一個數得到新數：
a，b，a-b，2b-a，2a-3b，5b-3a，5a-8b，13b-8a，13a-21b，……
你是否覺得其中出現的系數和斐波那契數列有些關系？是的，實際上，我們可以推出所有斐氏數列的通項公式，如果記斐氏數列為：F1=0，F2=1，Fn+2=Fn+1+Fn。并設上面的數列的項從左到右為Qn，那么有：
將斐波那契數列寫在這里，以便和下面的公式對照。0,1,1,2,3,5,8,13,21
這個式子其實蘊含著所有斐波那契數列的通項公式，不過今天先不管這個，我們先用它來證明我們的結論：若斐氏數列中沒有負數項，則其必為黃金斐氏數列，或者是黃金斐氏數列乘以一個常數。
按照要求，必須滿足對于所有的n，Qn＞0.
①：當n為奇數時：
Fn-1a-Fnb>0，即：
a/b>Fn/Fn-1
而根據斐波那契數列的性質，當n為奇數的時候，Fn/Fn-1的值是越[1] [2] 下一頁
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