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淺談黃金斐氏數列的一個性質

來源:不詳       更新時間:2012-9-28 12:23:14
 
作者:佚名
  
  黃金斐氏數列,我在前面的文章中已經介紹過,也就是下面的數列
  
  1,γ,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6,……,γk,γk+1,……
  
  其中γ=1.618……,也就是著名的黃金分割比,通常我們用δ表示另外一個黃金分割比0.618……,即:
  
  正如大家所看到的,這個數列既是斐氏數列,又是等比數列,除了在上面的數列中每一項乘以一個常數以外,這是唯一滿足既是斐氏數列又是等比數列的數列。所以等比數列滿足的性質在這里也滿足。
  
  一般的斐氏數列,后一項與前一項的比值是交叉地接近γ,而這個數列永遠都是等于γ。在斐氏數列F(0,1),即首項為0和1的數列中,具有下面的性質:
  
  (Fn)2=Fn-1Fn+1±1
  
  也就是任意一項的平方與前后兩項的乘積有1的偏差,在其他斐氏數列中都有一定的偏差,這剛好造就了著名的一道數學謎題的形成。但是在黃金斐氏數列中,就沒有偏差,我想大家都能夠看出來,因為這恰好是等比數列的一個性質。由此你也看出等比數列與斐氏數列的關系所在,等比數列滿足:
  
  (Fn)2=Fn-1Fn+1
  
  黃金斐氏數列就是連接這兩種數列的紐帶。
  
  另外一個方面,任意一個斐氏數列,如果你從首項開始,繼續往另一個方向寫,幾乎都會出現負數的吧!比如:
  
  以6和4開始,按照相反的方向書寫其數列:6,4,2,2,0,2,-2,4,-6,……從后面往前看就是一個斐氏數列。再則從1.618和1開始寫:1.618,1,0.618,0.382,0.236,0.146,0.090,0.056,0.034,0022,0.012,0.010,0.002,0.008,-0.006,……
  
  但是黃金斐氏數列是個例外,他永遠也不會出現負數。如果你繼續寫下去,其數列就會變成下面的:|
  
  ……,δk+1,δk,……,δ6,δ5,δ4,δ3,δ2,δ,1,γ,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6,……,γk,γk+1,……
  
  所以他永遠都不會出現負數,盡管越來越接近于負數。說白了這也是等比數列所造就。下面我們將證明,滿足這個條件的數列也非黃金斐氏數列莫屬。實際上我們可以證明的,這個性質的證明過程也是充滿意義。
  
  證明黃金斐氏數列的獨一無二
  
  證明:假設最開始的兩個數為a,b,a>b>0,我們反寫出這個數列,即用前一個數減去后一個數得到新數:
  
  a,b,a-b,2b-a,2a-3b,5b-3a,5a-8b,13b-8a,13a-21b,……
  
  你是否覺得其中出現的系數和斐波那契數列有些關系?是的,實際上,我們可以推出所有斐氏數列的通項公式,如果記斐氏數列為:F1=0,F2=1,Fn+2=Fn+1+Fn。并設上面的數列的項從左到右為Qn,那么有:
  
  將斐波那契數列寫在這里,以便和下面的公式對照。0,1,1,2,3,5,8,13,21
  
  這個式子其實蘊含著所有斐波那契數列的通項公式,不過今天先不管這個,我們先用它來證明我們的結論:若斐氏數列中沒有負數項,則其必為黃金斐氏數列,或者是黃金斐氏數列乘以一個常數。
  
  按照要求,必須滿足對于所有的n,Qn>0.
  
  ①:當n為奇數時:
  
  Fn-1a-Fnb>0,即:
  
  a/b>Fn/Fn-1
  
  而根據斐波那契數列的性質,當n為奇數的時候,Fn/Fn-1的值是越

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