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利用杠桿原理證明三角形的三線共點

來源:不詳       更新時間:2012-9-27 11:10:53
 
在《三角形重心原理和杠桿原理》一文,說了點數學結論里面的物理原理,數理本就一家,今天我們再來一次這樣的探討。我們用杠桿原理證明三角形里著名的三線共點。不過并不打算一個一個證明,因為所有的三線共點都可以歸結為著名的塞瓦定理,只要我們能證明塞瓦定理,所有的三線共點都只是其中的一種特殊情況而已,這一點我在《三角形的那些三線共點的證明》一文里已經很詳細闡述。
  
  先看今天的主角——杠桿原理:
  
  質點組的重心在兩質點的連線上,且到兩質點的距離與這兩點的質量成反比。用圖形話的語言來說就是:
  
  如果O點是G和M的平衡點,G點和H點的質量為G何H,他們到平衡點的距離為m和n,則一定有Gm=Hn。反之,若O點的位置滿足Gm=Hn。則O點一定是G和H的平衡點。
  
  今天就是要用杠桿原理來證明塞瓦定理,當然首先要知道什么是塞瓦定理。
  
  塞瓦定理:
  
  在△ABC中,過三頂點向對邊做線段,AX、BY、CZ,則這三條線段交于一點的充要條件是:
  
  看這結論多漂亮!我們如今用杠桿原理來證明
  
  證明:設BX=a,XC=b,CY=c,YA=d,AZ=e,ZB=f。在B點放置質量為a的質點,C點放置質量為b的質點,A點放置質量為bd/c的質點,至于為什么要這樣放,看下圖就知道:
  
  之所以這樣放,就是因為這時候B點和C點的重心就在X點(因為滿足杠桿原理),A點和C點的重心就是Y點。因此,質點組(A,B,C)的重心一定在直線AX上,又在BY上,也就必然是AX和BY的交點了,如果我們能證明該質點組的重心還在CZ上的話,那就說明CZ過AX和BY的交點了,因為一個質點組的重心只有一個,從而證明了AX,BY和CZ共點。而依據條件:
  
  這樣就證明了塞瓦定理。我們可以依照類似的方法證明必要性,在這里我就忽略了。有了塞瓦定理,那么三角形的那些三線共點就都可以得到證明。(來源:學夫子數學博客)

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