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Riemann 猜想漫談(四)

來源:不詳       更新時間:2012-9-21 16:16:29
 

  作者:佚名
  
  在上節中我們看到,素數的分布與Riemannζ函數之間存在著深刻關聯。這一關聯的核心就是J(x)的積分表達式。由于Riemannζ函數具有極為復雜的性質,這一積分同樣也是極為復雜的。為了對這一積分做進一步的研究,Riemann引進了一個輔助函數ξ(s)[注一]:
  
  ξ(s)=Γ(s/2+1)(s-1)π-s/2ζ(s)
  
  引進這樣一個輔助函數有什么好處呢?首先,由上式定義的輔助函數可以被證明為是整函數(entirefunction),即在復平面上所有s≠∞的點上都解析的函數。這樣的函數在性質上要比Riemannζ函數簡單得多,處理起來也容易得多。事實上,在所有非平庸的復變函數中,整函數是解析區域最為寬廣的(解析區域比它更大,即包括s=∞,的函數只有一種,那就是常數函數)。這是引進ξ(s)的好處之一。
  
  其次,利用這一輔助函數,我們在第二節中提到過的Riemannζ函數所滿足的代數關系式ζ(s)=2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)可以表述為一個對于s與1-s對稱的簡單形式:
  
  ξ(s)=ξ(1-s)
  
  這是引進ξ(s)的好處之二。
  
  此外,從ξ(s)的定義中不難看到,ξ(s)的零點必定是ζ(s)的零點[注二]。另一方面,ζ(s)的零點除了平凡零點s=-2n(n為自然數)由于恰好是Γ(s/2+1)的極點,因而不是ξ(s)的零點外,其余全都是ξ(s)的零點,因此ξ(s)的零點與Riemannζ函數的非平凡零點相重合。換句話說,ξ(s)將Riemannζ函數的非平凡零點從全體零點中分離了出來。這是引進ξ(s)的好處之三。
  
  在進一步介紹Riemann的論文之前,讓我們先提一下Riemannζ函數的一個簡單性質,即ζ(s)在Re(s)>1的區域內沒有零點(證明參閱附錄一)。沒有零點當然就更沒有非平凡零點,而后者跟ξ(s)的零點是重合的,因此上述性質表明ξ(s)在Re(s)>1的區域內也沒有零點;又由于ξ(s)=ξ(1-s),因此ξ(s)在Re(s)<0的區域內也沒有零點。這表明ξ(s)的所有零點——從而也就是Riemannζ函數的所有非平凡零點——都位于0≤Re(s)≤1的區域內。由此我們得到了一個有關Riemannζ函數零點分布的重要結果,那就是:Riemannζ函數的所有非平凡零點都位于復平面上0≤Re(s)≤1的區域內。這一結果雖然離Riemann猜想要求的所有非平凡零點都位于復平面上Re(s)=1/2的直線上還相距甚遠,但起碼也算是萬里長征的第一步。
  
  好了,現在回到Riemann的論文中來。引進了ξ(s)之后,Riemann便用ξ(s)的零點對lnξ(s)進行了分解:
  
  lnξ(s)=lnξ(0)+Σρln(1-s/ρ)
  
  其中ρ為ξ(s)的零點(也就是Riemannζ函數的非平凡零點——這些家伙終于出場了!)。分解式中的求和對所有的ρ進行,并且是以先將ρ與1-ρ配對的方式進行的(由于ξ(s)=ξ(1-s),因此零點總是以ρ與1-ρ成對的方式出現的)。這一點很重要,因為上述級數是條件收斂的,但是在將ρ與1-ρ配對之后則是絕對收斂的。這一分解式也可以寫成等價的連乘積關系式:
  
  ξ(s)=ξ(0)Πρ(1-s/ρ)
  
  這樣的連乘積關系式對于有限多項式來說是顯而易見的(只要滿足ξ(0)≠0這一條件即可),但對于無窮乘積來說卻絕非一目了然,它有賴于ξ(s)是整函數這一事實,其完整證明直到三十四年后的1893年才由Hadamard在對整函數的無窮乘積表達式進行系統研究時給出。Hadamard對這一關系式的證明是Riemann的論文發表之后這一領域內第一個重要進展[注三]。
  
  很明顯,上述級數分解式的收斂與否與ξ(s)的零點分布有著密切的關系。為此Riemann研究了ξ(s)的零點分布,并由此而提出了三個重要命題:
  
  1.在0<Im(s)<T的區間內,ξ(s)的零點數目約為(T/2π)ln(T/2π)-(T/2π)。
  
  2.在0<Im(s)<T的區間內,ξ(s)的位于Re(

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