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拓撲學簡介(四)—— 流形

來源:不詳       更新時間:2012-9-12 12:11:32
 
1854年,28歲的黎曼在哥廷根大學發表就職演講。這個職位是所謂無薪講師,他的收入完全來自于聽課的學生所繳納的學費。即使是爭取這樣一個職位,也需要提供一篇就職論文以及發表一個就職演講。1853年他提交了就職論文,其中討論了什么樣的函數可以展開成三角級數的問題,并導致對定積分的第一個嚴格數學定義。之后的就職演講要求候選人準備三個演講課題,委員會從中挑選一個作為正式演講題目。黎曼選了兩個思慮多時的課題,外加一個還未及考慮的課題——關于幾何學的基本假設。他幾乎確信委員會將挑選前面兩個題目之一。然而,委員會的高斯偏偏就看中了第三個題目。當時黎曼正沉浸于電、磁、光、引力之間的相互關系問題,從這樣的深沉思考中抽身轉而研究新的問題無疑是一種巨大的壓力,再加上長期的貧窮,一度讓黎曼崩潰。但不久他就重新振作起來,用7個星期時間準備了關于幾何學基本假設的演講。為了讓數學系以外的委員會成員理解他的演講,黎曼只用了一個公式,并且忽略了所有計算細節。盡管如此,估計在場鮮有人能理解這次演講的內容。只有高斯為黎曼演講中蘊含的深邃思想激動不已。
  
  黎曼在演講中提出了“彎曲空間”的概念,并給出怎樣研究這些空間的建議。“彎曲空間”正是后世拓撲學研究的主要對象。在這些對象上,除了可以運用代數拓撲的工具,還可以運用微積分工具,這就形成了“微分拓撲學”。
  
  回到黎曼的演講。黎曼認為,幾何學的對象缺乏先驗的定義,歐幾里德的公理只是假設了未定義的幾何對象之間的關系,而我們卻不知道這些關系怎么來的,甚至不知道為什么幾何對象之間會存在關系。黎曼認為,幾何對象應該是一些多度延展的量,體現出各種可能的度量性質。而我們生活的空間只是一個特殊的三度延展的量,因此歐幾里德的公理只能從經驗導出,而不是幾何對象基本定義的推論。歐氏幾何的公理和定理根本就只是假設而已。但是,我們可以考察這些定理成立的可能性,然后再試圖把它們推廣到我們日常觀察的范圍之外的幾何,比如大到不可測的幾何,以及小到不可測的幾何。接著,黎曼開始了關于延展性,維數,以及將延展性數量化的討論。他給了這些多度延展的量(幾何對象)一個名稱,德文寫作mannigfaltigkeit,英文翻譯為manifold,英文字面意思可以理解為“多層”,中國第一個拓撲學家江澤涵把這個詞翻譯為“流形”,取自文天祥《正氣歌》,“天地有正氣,雜然賦流形”,而其原始出處為《易經》,“大哉乾元,萬物資始,乃統天。云行雨施,品物流形。”這個翻譯比英文翻譯更加符合黎曼的原意,即多樣化的形體。
  
  黎曼定義的“n維流形”大概是這個樣子的:以其中一個點為基準,則周圍每個點的位置都可以用n個實數來確定。后人將這種性質總結為:流形的局部與n維歐氏空間的局部具有相同的拓撲性質。如果進一步要求在流形的不同局部做微積分的結果可以互相聯系起來,成為“整體微積分”,則稱此流形為“微分流形”。一個簡單的例子就是二維球面。我們都知道,二維球面上沒有整體適用的坐標。經度和緯度是一組很好的坐標,但是在南北兩極,經度無從定義。盡管如此,球面的每個局部都可以畫在平面上,這就是地圖。把各個區域的地圖收集在一起,重疊的部分用比例尺協調一下,就得到整個球面。這樣,坐標(或地圖)只存在于每個局部,而整個球面其實是地圖之間的重疊關系。球面是二維流形,因為球面的局部同平面(二維歐氏空間)的局部具有相同的延展性質。球面的整體結構顯然跟平面不同。沿著球面的某個方向往前走,比如,從赤道某點出發往東走,最終會回到出發點。而如果在平面上沿某個方向往前走則永不回到出發點。研究流形的整體結構,以及整體結構與局部結構之間的關系,就是“拓撲學”的核心課題。微分流形上可以使用微積分的工具,再輔之以前面介紹過的代數工具(同調群,同倫群),就形成了威力強大的“微分拓撲學”。這門學問的發展使我們對5維以上的單連通微分流形(回憶先前介紹的“單連通”概念,即每條曲線可于流形內滑縮為一點)有了比較徹底的認識。
  
  到了80年代,數學家對4維單連通“拓撲流形”也有了徹底的認識,然而4維“微分流形”卻是無比復雜的對象。比如,直觀上最簡單的四維流形,四維歐氏空間,也就是所有(x,y,z,t)這樣的數組組成的空間,有無窮多個“微分結構”,通俗一點說,這個流形上有無窮多種“整體微積分”可做,而我們通常做的四元微積分只是其中一種。這是4維的特殊性,因為其他維數的歐氏空間都跟我們的常識相符。也許“4”就是傳說中的上帝之數,我們的宇宙就是用4個參數來描述的(3個參數表示空間,1個參數表示時間),我們的時空是一個四維流形。
  
  如果我們忘掉時間,只考察我們生活的空

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