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給雪花上色:我們比阿基里斯更厲害

來源:不詳       更新時間:2012-9-9 21:00:17
 

  一提到在有限的時間通過無限細分的長度,就讓許多人聯想到芝諾那個著名的悖論。既然大家提到了這個,我們就來講講故事吧,權當飯后小娛樂啦。
  
  故事是這樣的:有一個倒霉蛋阿基里斯準備和烏龜賽跑。烏龜先天條件不好,于是阿基里斯大度地把起跑線往后挪了幾米。芝諾同學馬上跳出來說,哎呀,那你不是追不上烏龜啦!為什么呢?你看,要追上烏龜,你必須跑過你們之間的距離。當跑到1/10處的時候,它已經向前挪動了一點。要追上它,你仍然必須經過這個新距離的1/10處。可你跑到那時,烏龜又向前挪動了一點。雖然它挪動得比你慢,可這樣進行下去,你也總是只追到1/10,何時才能超過烏龜呢?
  
  這明顯和我們經驗中的事實不符:世界上有無數的人可以用行動證明他們能夠追上烏龜,甚至連兔子也行。可從邏輯上看起來,芝諾并沒有說錯什么啊。怎么回事?怎么回事?
  
  幾千年過去了,哲學家數學家什么什么家們,吵啊吵啊,沒個完。大家都發現了芝諾的一個問題:他只字未提時間。粗略地看,如果阿基里斯以勻速奔跑,那么經過越短的距離需要的時間越少。因為他比烏龜快,每次跑到1/10的時候,烏龜向前挪的距離要小于1/10。于是他們之間的新距離比上一次要小。那么阿基里斯跑下一個1/10需要的時間就比這次要短。很快地,阿基里斯每次要跑的距離就會變得非常小,需要的時間也就相應地非常短。到最后,每次到達1/10處經過的距離趨于0,時間也趨于0。那么他花費有限的時間追上烏龜是可能的。可是當距離和時間都趨于0的時候,阿基里斯幾乎靜止在原地,時間也幾乎停止了。這樣子我們還是沒法觀察他追上烏龜的過程。
  
  換一種辦法吧。如果記下每次他到達1/10處的時刻:t1,t2,t3,……芝諾的推論就等價于說,不管處在哪個時刻上,他和烏龜之間都存在著距離。也就是說你找不到一個可以和“距離為零”相對應的時刻。所以他追不上烏龜。可你發現了嗎,這些時間點組成的集合,并不等于阿基里斯在追的過程中經過的所有時刻。比如我們追蹤他每次經過1/20處的時刻,會得到另一個無窮集合t1’,t2’,t3’……。顯然第二組的每一個時間值都要小于第一組,是完全不同的另一個集合,但它也包含在“阿基里斯經過的所有時刻”這個大集合中。同樣地,你也可以追蹤阿基里斯每次到達1/30處的時刻,1/40、1/50處的時刻……等等等等。它們全都包含在這個大集合中。哈,芝諾忽略了其它的時間點。
  
  設想阿基里斯在跑,我們在旁觀。0.1秒的時候他追上了1/10,0.11秒的時候追上了下一個1/10,0.111秒的時候追上了下下個1/10……芝諾因此說,你0.1111…地數下去,有無窮個“1”,所以他追不上烏龜,你同意嗎?時間可不會在流淌到0.1111…秒的時候就靜止在那里。阿基里斯不光經歷了0.1111…,還經歷了0.2222…、0.3333…,直到0.9999…。然后,bingo!他來到了1秒這個時刻,并在此和烏龜的距離縮小為零。芝諾只是挑出了這長為1秒的時間內包含的某些時刻,讓它們逐漸趨近于0.1111…,然后企圖把阿基里斯困在這一時刻之前。可是阿基里斯當然不會被困住,因為時間的流淌將永不停息。沒有人知道為什么,但我們的確在有限的時間內經歷著無窮個時刻。所以我們每個人都能追上烏龜。
  


  對于涂雪花的辦法,我有個提議:
  


  這片雪花可以被放進一個圓圈里,六個頂點與圓接觸。在圓心,同時也是雪花的中心,一個沾滿了顏料的橡皮圈開始擴張,它“蹭到”的地方就被涂上了顏色。那么,只要從圓心擴張到和外圈大圓重合,整個雪花就被完全覆蓋了。所以雪花的確能在有限的時間內涂滿,這個很容易看出來。那么處理無窮邊緣的問題,該怎么看呢?
  
  從橡皮圈開始和雪花的邊緣接觸的時候,邊緣就開始以飛快的速度著色。有多快?我們隨意挑一個時間間隔,看看夾在兩個橡皮圈之間的雪花邊緣有多長?是無窮!把時間間隔縮短一點,所夾的圓環更細了,可是被圈住的

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