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一道數學題的不等式解法

來源:不詳       更新時間:2012-5-2 12:11:04
 
作者:學夫子
  
  有很多時候,題目就是設置得非常精妙,這往往就是難點,也是突破口。特別是很多方程類的題目,有時候命題人就是故意設置成“極端狀態",就看你會不會發現,比如我在《一道方程題的解法簡談》以及《對吳振奎老師一題另解》文里提到過的例子。這是一道《教材全解》里德解三角形題目,原題采用的是積化和差解決,若能用”極端法“,會收到事半功倍的效果。
  
  原題:在△ABC中,若lg(sinA),lg(sinB),lg(sinC)成等差數列,且三個內角A、B、C也成等差數列,試判斷該三角形形狀
  
  原解:首先得到B=60°,這些我就不必說過程,然后得到sin2B=sinAsinC,我也不必說過程,說關鍵地方就行。
  
  所以-1/2[cos(A+C)-cos(A-C)]=3/4
  
  所以cos[A-C]=1
  
  因為A-C∈(0,π),所以A-C=0,即A=C,所以A=B=C
  
  故△ABC為等邊三角形。
  
  現在提供解法2:
  
  前面的過程都一樣,得到B=60°和sin2B=sinAsinC
  
  所以b2=ac
  
  所以cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(a2+c2-ac)/(2ac)≥(2ac-ac)/2ac=1/2
  
  當且僅當a=c取等號,所以A=C=B
  
  故△ABC為等邊三角形。
  
  這種方法就在于那種巧合了,所以不能適用于其他題目,但是這種命題人”制造“巧合,做題人發現巧合卻是大體相通的。所以建議大家對待這種題目,先熟練其常規解法,然后也適當了解其非常規解法,這樣對于你自身的素質提高是非常有好處的,所以不要過于拘泥于常規解法而不嘗試非常規解法,也不要一味追求所謂的”妙解“而忽視常規解法。非常規解法往往會基于你常規解法的熟練,又是你常規解法的升華。就好像生活中的平淡與驚奇,又如小時候米飯碗里媽媽藏著的一塊雞蛋。
  
  PS:今日去重慶洋人街,第一次去,沖著名字去的,以為那里有很多洋人,結果你們知道的,沒有一個洋人。不過卻有了另外一大驚喜,我居然在回來的車上遇到七八年沒見的高中同學!你說,這是不是就叫緣分?(來源:學夫子數學博客)

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