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圓的一個有趣性質

來源:不詳       更新時間:2012-4-27 13:10:38
 
作者:學夫子
  
  對于圓的定義,我想就不用我說,今天所說的這個,是圓的一個性質,但是這個性質和圓錐曲線非常類似,而正如我們所知道的,圓可以看做是一種特殊的不得了的橢圓,所以個人經常把他看做圓的定義,雖然這個非常不妥。
  
  定理:和兩已知點的距離之比等于常數(不等于1)的點的軌跡是一個圓周。
  
  設A、B為已知點,求點M的軌跡,使得比MA/MB為一不等于1的常數m。
  
  顯然C點是一點,MA/MB=AC/CB,利用“角平分線定理”的逆定理知,MC為角AMB的角平分線。而MD外分線段AB,DA/DB=MA/MB,可以知道MD平分角AMB的外角。這個性質可以利用三角形相似以及三角形的面積公式證得。在此先忽略,各位若對此有問題的話,可以留言,如果有必要,我單獨起文說明。
  
  由此可以知道,角CMD=90°,所以M點在圓周上。
  
  這個定義是不是和圓錐曲線的定義很相似?圓錐曲線的定義是到定點和定直線的距離之比為一常數,而這個是到兩個頂點的距離之比為一常數。從另外一個角度看,我們還可以看出一些其余的端倪:
  
  如果這個比值為1,那么M的軌跡就是AB的垂直平分線,如果比值不為1,那就是一個圓。也就是說,線段在這里可以看成當圓的半徑趨于無窮大時候的極限情況。這個看似荒唐的結論其實非常重要,在比較復雜的數學理論里,往往是把直線看成一種特殊圓的,在這里很難說清楚,不過有一個例子可以一窺其妙,那就是托勒密定理。大家可以參考這篇文章:<托勒密定理探究>,也可以參考維基百科的一些資料:關于托勒密定理。(來源:學夫子數學博客)

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