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一道數學游戲題的爆破過程

來源:不詳       更新時間:2012-4-24 12:13:03
 
作者:學夫子
  
  當我無力快速解決某題目時候,暴力成為了最后的堡壘。有時候還來得非常完美。比如下面這道著名的數學游戲,出自于著名數學游戲玩家赫柴德,他與20世紀中期征求下面字謎算式的答案:(其中相同的字母代表相同的數字,不同的字母代表不同的數字)
  
  可能很多人都會認為答案有很多個,但結果令人驚訝,滿足條件的式子只有下面一個,不過據說其演算還比較復雜,最后是由一位數學愛好者用計算機運行11分鐘完成。學夫子閑下來的時候,就試著用暴力解決此題,下面是我的爆破過程,比較無聊,閱讀宜謹慎。
  
  1:首先,兩個一位數相乘保持末尾數不變的本就不多,而兩位數ON與一位數B相乘保持末尾兩位為ON的就更少了,滿足條件的就下面幾對,顯然B=1和0的應該排除,如果排除掉N=0的情況,那么剩下的就更少:(25,9);(75,9)。我們下面的任務就是排除這兩種情況而證明數字N只能為零。
  
  A:此時B=9,那么D*9不能向后進位,否則千位上的N*9不可能末尾數仍然是5,符合條件的D只有0和1.簡單驗證便知D只能為0,因為若D=1,D*9同樣會產生進位。若O=2,D=0,則S=2,重復;所以在這種情況下,O只能為7
  _____________
  如右圖就是當O=7時候的算式,該算的都已經計算出來了,此時Y只能取1,2,3,4,8幾數之一,一個一個試。
  
  (1):若Y=1,則H=3,Y*9進1,L*9+1的個位數為7,則L=4,J=6,重復;
  
  (2):若Y=2,則H=2,重復;
  
  (3):若Y=3,則H=1,Y*9進3,L*9+3的個位數為7,則L=6,重復;
  
  (4):若Y=4,則H=0,重復;
  
  (5):若Y=8,則H=6,重復。
  
  如此演算得知,N只能為0.
  
  B:N=0時,O*B就需要保持末尾數不變,符合此題要求的有下面幾對:(3,5),(7,5),(9,5),(6,2),(6,4),(6,8),爆破法的精髓即將用上:
  
  (1):當O=5,B=7或9,則D只能為零,否則就會向N*B進位,而這就與N=0重復。
  
  (1):當O=5,B=3.D*B不能進位,則D只能為1或2,否則D*3就會向后進位。
  
  i:當D=1或2,此時Y可以取1,2,6,7,8,9之一
  
  a:當Y=1或2,Y*3不能向后進位,而L*3的個位數為5,所以L=5,重復
  
  b:若Y=6,則H=8,Y*3向后進1,L*3+1的個位數為5,則L=8,重復
  
  c:若Y=7或8或9,則H=1或4或7,Y*3向后進2,L*3+2個位數為5,則L=1,如此便不能進位得到J
  
  d:若Y=4,則H=2,Y*3向后進1,L*3+1的個位數為5,則L=8,J便為2.與H重復。
  
  (3):若O=2,B=6,同樣的道理,D=1.此時的Y只能取3,4,5,8,9之一

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