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為何規定負負為正

來源:不詳       更新時間:2012-4-24 12:12:46
 

作者:學夫子
  
  為什么是負負為正?這里的題目說得很清楚,其實就是一種規定。當然這種規定是建立在深刻的數學背景下的,而不是某個人的突發奇想。一門數學學科都是建立在“公理——定理”的基礎上的,算術也不例外,算術的公理,就是一系列的運算法則,這些法則無法證明,他的建立基本上都是建立在直覺的基礎上。有人試圖對負負為正作出證明,顯然這是徒勞的。他們提供的證明方法如下,看起來沒有破綻,實則漏洞百出。
  
  證明負負為正:
  


  圖中的圖形就是一個邊長為a的正方形,根據面積公式必然有下面的式子成立:
  
  (a-b)(a-c)=a2-ac-ab+bc………………①
  
  然后不知道為什么的,他就讓a=0,根據上面的式子得到(-b)(-c)=bc,從而就認為證明了"負負為正"的結論.看起來似乎很有理呢!實際上是完全錯誤的,因為①式之所以成立,前提是建立在a≥c的前提下的,既然前提都不同,又怎么可以突破這個前提得出其他的結論呢?本來這里面是有很多東西需要討論的,這樣一"證明"一下子就將之變得顯而易見了.但是這種不按照規矩辦事,想當然滴將結論擴大的思想是絕對不行的.他會給學生造成一種錯誤的印象,這種印象無論是對于研究還是生活都是有非常大的危害.因為在這里想當然滴將條件放寬,自以為得到正確的結論,那么學生就容易在諸如下面的問題犯錯:
  
  正數范圍有分母越大,分數越小的結論,但是顯然加了負數以后就不成立.很多例子都告訴我們,當條件變化,很多結論都會變,所以利用上面的思想來解釋負負為正,絕對是要不得的.
  
  不過上面錯誤的方法卻可以給我們得出下面的結論。我們通過面積得到了式子①。實際上就是關于乘法的結合律問題。實際上就是得到了在正數范圍內多項式的一個運算法則。現在我們引進了負數,要想使得這些運算法則也能夠適用于負數,也就是讓負數“兼容”這些運算法則的話,就必須要負負為正,上面錯誤的做法已經說明了這一點。
  
  而恰好,如果賦予負數以幾何意義——反方向的話,也必須要“負負為正”,因為反方向的反方向就是正方向。綜合這些,就順理成章滴需要規定“負負為正”的公理。但是你不能用他們去證明負負為正,這是無法證明的,他屬于最底層的公理。
  
  換句話說,如果你愿意,你可以規定“負負為負”,但是這種規定不兼容正數的運算法則,會帶來很大的麻煩。(來源:學夫子數學博客)

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