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將一個數分解為幾個數之和,使之乘積最大

來源:不詳       更新時間:2012-2-8 11:30:08
 
 這是一道經典,又是容易犯錯的題目。因為涉及到神秘的e,所以給這道題也增加了幾分新鮮感。原題是這樣的:有幾個數之和為19,問這幾個數的最大乘積為多少?這里是限制在正實數范圍內。當然,這里的19可以是代替為任何數。不過不管是什么數,都有下面統一的答案:
      當每一個數都相等,且每一個數都非常接近于e的時候,其乘積最大。
      對于19而言,將之分解成7份的時候,每一個數19/7離e(2.71828……)最接近,也就是這幾個數的最大乘積為(19/7)7.對于這個答案的證明,需要一點導數知識,不過都是非常基礎的。利用均值不等式,可以知道當每一個數都相等的時候,才具有最大值,所以實際上就是將這個數均分,假設分成n份,那么他們的乘積就是:(k/n)n.其中k為這幾個數的和,為一常量。利用導數知識,可以算出其極值點。
     
      由此便有了答案,其中的k/n就是分解出的每一個數,不過當我們在均分的時候,k/n就不一定能取到e了,因為此時的n限制在了正整數的范圍,根據f(n)的單調性,當每一個數最接近于e的時候,其乘積最大。
      比如把12分解成幾個正數之和,當每一個數都等于3的時候,他們的乘積最大,我們也可以通過簡單的驗證來檢驗。又比如3,不用分解,就他一個數的乘積最大。這個問題屬于一道非常常見的題目,不過往往很多人犯一些錯誤,最容易犯錯的地方就是將“正實數”隨意拓展為“一切實數”。實際上就拿19來說,一個簡單的驗證就知道“一切實數”內是可以到達任何大的。
      1019+(-500)+(-500)=19,顯然此三數的乘積遠比(19/7)7大得多。
      文章來源:學夫子數學博客

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