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將力分解為兩反方向的無窮大力能抵消么?

來源:不詳       更新時間:2012-1-3 19:57:21
 
       這是昨日在QQ群里一位朋友提到的問題:把一個水平向右的力F分解成豎直向上和豎直向下的兩個力F1和F2,由平行四邊形法則可知,F1和F2都是無窮大,相互抵消了,則F也相當于不存在了。這樣一來,任何一個力照此一折騰,就什么都沒有了。顯然從直覺講,這是不行的,問題雖然簡單,卻是涉及到一些數學里比較重要的東西。
      
       第一個問題就是:無窮和無窮相減并不一定就是零,世間沒有無窮這個數,只是一個“大得不得了”的記號而已,既然不是數,那么就不能用數字的運算法則來套用在這里。只能用極限的分析法則。你把一個力分解為兩個無窮大的力,就不能簡單地說他們可以相互抵消。另外一個我們若是從“射影幾何”里的一個公理來看這個問題的話,會有不一樣的新穎。
      兩條平行直線相交于無窮遠處。這就是射影幾何里的一大公理。我在很多場合說過,可以把坐標軸兩端看成相交于無窮遠處。甚至可以把一條直線兩端也看成相交于無窮遠處,感覺上,一條直線就可以看成相交于無窮遠處的一個圓。在數學界,很多時候都是把直線看成一種特殊的圓,比如著名的托勒密定理。所以我們可以把這兩個無窮大,方向相反的力看成一個圓,他們最終相交于一點。
     
      原先向上方向的力就變成圖中圓的上半圓周,向下方向的力就是下半圓周。顯然,這兩個力的效果最終等價于如圖由起點指向重點的那一個力。而這個力正是垂直于兩個無窮大力的合力。這位朋友的想法想來這也是有其中道理的,只不過不要忘記一點就是:當數進入無窮地域時,很多東西都要發生改變了,直的相當于彎的,有的相當于沒有,沒有的又有。
      不過這位朋友這個問題的最值得我們提到之處就是涉及到的向量基本定理。為什么一個力可以按照平行四邊形法則分解為兩個力?這來源于我們的向量理論,這其中的重要定理:向量基本定理。也就是平面里面任何一個向量都可以用兩個不共線向量表示。而當我們分解的兩個分力變成無窮大的時候,他們的方向已經共線,既然是共線,就不能成為這個平面的一組基底,向量的分解就不能在兩個共線向量中進行。所以此時向量的分解,也就是這里力的分解就失效。
      文章來源:學夫子數學博客

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