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貝特朗概率悖論的解釋

來源:不詳       更新時間:2011-12-29 10:58:52
 
      貝特朗概率悖論是一個著名的悖論題,與其他的集合悖論不一樣,這個悖論只是我們看起來“錯”而已,也并沒有像集合悖論一樣帶來一次數學危機,正確審視它,就是讓我們對“幾何概型”這一概念更加地深入了解而已。
      我就不廢話,我們直接來看什么是貝特朗概率悖論,百度上有很多,隨便一搜就到處都是
      題目是這樣子滴:在圓中做弦MN,求使MN的長大于圓內接正三角形邊長的概率。

      這道題若從不同的角度看,就有幾種不同的答案,百度百科里有,我就不想在這里多費口舌,希望各位先到那里去看看具體的答案,我把圖片下載下來,大家可以自己看:百度百科詞條解釋
     

      雖然這多種解法各有各得說法,似乎每一個都對,但是悖論畢竟是悖論,他終究是錯的。概率問題一個基本的原則就是,不管從哪個角度看,答案只能有一個,否則一件事情的概率都不一致,這問題要么就是本身就有問題,要么就是條件不夠。而對于貝特朗概率悖論所涉及到的問題,正是如此,因為其條件不夠。
      首先我們看第一種“解法”。
     
      解法1的思路是,在于AB平行的弦中,只有與PQ交點落在MN上的,弦長才大于根號3。弦與PQ的交點肯定就是落在PQ上的,而NM=1/2PQ,所以此時概率為1/2.
      這個解法其實有一個重要前提,那就是弦與PQ的交點在PQ上是均勻分布的。正正是題目中所缺乏的條件,因為圓中任意的弦,這到底怎么個做法?是像這種解法所說的,使其與PQ交點在PQ上均勻分布么?還是使弦與圓周的交點是任意分布?如果滿足后者,就不可能滿足前者,滿足前者,就不可能滿足后者。一個比較明顯的說法就是:做幾條平行弦,使其在PQ上均勻分布,也就是相互之間的距離相等,我們可以看見,這些弦之間的弧長并不相等,也就是說,在PQ上均勻分布,一定不會在圓周上均勻分布。原題中沒有給出這樣的條件,解法1加了這么一個條件,顯然就有不一樣的結果了。
     
      再看解法2.
     
      解法2的思路是,鏈接OA,在OA兩邊做弦AM和AN,使其和AO的夾角為30°。在圓中所有的弦中,只有當B點落在弧MN上時,才滿足條件,而MN的弧長占據整個弧長的1/3,所以概率為1/3
      看了解法1,你就知道這個解法的原因所在了,他正是采用了在圓周上均勻分布這一條件得出的結果。
      最后看解法3
     

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