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淺談模糊數學

來源:不詳       更新時間:2011-11-11 12:08:50
 

  在日常生活中,我們遇到的概念不外乎兩類。一類是清晰的概念,對象是否屬于這個概念是明確的。例如;人、自然數、正方形等等。要么是人,要么不是人、要么是自然數、要么不是自然數、要么是正方形,要么不是正方形。另一類概念對象從屬的界限是模糊的,隨判斷人的思維而定。例如:美不美?早不早?“便宜不便宜?等等。西施是我國古代公認的美女,有道是“情人眼里出西施”,這就是說,在一些人看來未必那么美的人,在另一些人眼里,卻美得可以與西施相比擬。可見,“美”與“不美”是不存在一個精確的界限的。再說“早”與“不早”,清晨五點,對于為都市“梳妝打扮”的清潔工人來說可能算是遲了,但對大多數小學生說,卻是很早很早的。至于便宜不便宜,那更是隨人的感覺而異了!在客觀世界中,諸如上述的模糊概念要比清晰概念多得多。對于這類模糊現象,過去已有的數學模型難以適用,需要形成新的理論和方法,即在數學和模糊現象之間架起一座橋梁。它,就是我們要講的“模糊數學”。
  
  加速這座橋梁架設的是計算機科學的迅速發展。大家知道,人的大腦具有非凡的判別和處理模糊事物的能力。就拿一個孩子識別自己的母親為例,即使這位母親更換了新衣,改變了發式,她的孩子依然會從高矮、胖瘦、音容、姿態等迅速地作出準確判斷。如果這件事讓計算機來干,那就非得把這位母親的身高、體重、行走速度、外形曲線等等,全都計算到小數點后的十幾位,然后才能著手判斷。這樣的“精確”實在是事與愿違,走到了事物的反面。說不定就因為這位母親臉上一時長了一個小癤,該部位的平均高度,比原來高了零點零幾毫米,而使計算機作出“拒絕接受”的判斷呢?難怪模糊數學的創始人,美國加利福尼亞大學教授、自控專家扎德(L.A.Za-deh)說:“所面對的系統越復雜,人們對它進行有意義的精確化能力就越低。”他生動地舉了一個停車問題的例子,他說:要把汽車停在擁擠停車場的已有兩輛汽車之間的空地上,這對有經驗的司機來說,并非什么難事。但若用精確的方法求解,即使是一臺大型電子計算機也不夠用。
  


  那么,要使計算機能夠模仿人腦,對復雜系統進行識別和判斷,出路在哪里呢?扎德教授主張從精度方面“后退”一步。他提出用隸屬函數使模糊概念數學化。例如“禿頭”,這顯然是一種模糊概念。右圖有五種頭發的類型。(a)的頭葫蘆精光,自屬標準“禿頭”,隸屬程度為1;(d)的頭是典型的禿頂,所以“禿”的隸屬程度可定為0.8;(c)的頭上,長滿了烏黑的頭發,根本與“禿”沾不上邊,所以“禿”的隸屬程度為0;(b)與(c)的“禿”,比之(a)、(d)則不足,比之(c)則有余,隸屬程度可分別定為0.5和0.3。這樣“禿”這個模糊概念就可以用以下的方法定量地給出定義:
  
  [禿頭]=1/a+0.5/b+0/c+0.8/d+0.3/e
  
  這里的“+”和“/”,不是通常的相加和相除。這只是一種記號。“1/a”表明狀態a的隸屬程度為“1”等等,“+”則表示各種情況的并列。
  


  下面我們再看“年輕”和“年老”這兩個模糊概念。扎德教授本人根據統計資料,擬合了這兩個概念的隸屬函數圖象。圖中橫坐標表示年齡,縱坐標表示隸屬程度,例如,從坐標圖可以看出,50歲以下的人不屬于“年老”,而當年齡超過50歲時,隨著歲數的增大,“年老”的隸屬程度也越來越大,“人生七十古來稀”,70歲的人“年老”的隸屬程度已達94%,同樣,在坐標圖中我們可以看到,25歲以下的人,“年輕”的隸屬程度為100%,超過25歲,“年輕”的程度越來越小。40歲已是“人到中年”,“年輕”的隸屬程度只有10%。
  
  假如有人問你:“你的數學老師年輕嗎?”而你的回答卻是:“他的年輕隸屬程度為25%”。這樣的答案自然不會有錯,但顯然是很別扭的。為了使人產生一種確切的印象,我們可以固定一個百分數,例如40%,隸屬程度大于或等于40%的都叫“年輕”,反之就不叫“年輕”。在這種前提下,你對你朋友的回答也就是肯定的了,你可以明白地告訴你的朋友,你的數學老

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