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音樂背后的數學

來源:不詳       更新時間:2011-9-9 9:34:42
 

  音樂背后的數學
  
  數學家萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)說:“音樂是一種隱藏的算術練習,透過潛意識的心靈跟數目在打交道。”
  
  近代作曲家斯特拉文斯基(Stravinsky,1882-1971)說:“音樂的形式較近于數學而不是文學,音樂確實很像數學思想與數學關系。”他特意將“像數學思想的東西”溶入他的音樂作品之中。
  
  音樂為何悅耳、調和、美呢?可否說出一些道理?田野中昆蟲啁啾的鳴叫,枝頭鳥兒清脆的叫聲,《牧笛》優美動聽的旋律,貝多芬令人振奮的交響曲……當沉浸在這些美妙的音樂中時,你是否想到了它們與數學有著密切的聯系?
  
  人們對數學與音樂之間聯系的研究和認識,可以說源遠流長。相信音樂的背后有數學規律可循,并且努力去追尋出音律,這在歷史上最早且最著名的當推畢達哥拉斯學派(約公元前5-6世紀)。而中國古代的“三分損益法”就是通過數學運算研究音律的方法。人們常用的樂譜也是數學在音樂上應用得最為顯著的地方之一。
  
  一音律背后的比例和分數乘法
  
  音的高低由弦振動的頻率決定。如何定出音律,即定出音階:
  


  的頻率比?這是音樂的根本問題。
  
  1.畢達哥拉斯琴弦律
  
  畢達哥拉斯發現音律有一段美麗的故事。有一天畢達哥拉斯偶然經過一家打鐵店門口,被鐵錘打鐵的有節奏的悅耳聲音所吸引(筆者在家鄉小城鎮曾見識過打鐵店,現在已不多見了)。他感到很驚奇,于是走入店中觀察研究,參見圖1。他發現有四個鐵錘的重量比恰為12:9:8:6,將兩個兩個一組來敲打都發出和諧的聲音,分別是:12:6=2:1的一組,12:8=9:6=3:2的一組,12:9=8:6=4:3的一組。畢達哥拉斯進一步用單弦琴做實驗加以驗證,參見圖2。對于固定張力的弦,利用可自由滑動的琴馬來調節弦的長度,一面彈,一面聽。畢達哥拉斯經過反復的試驗,終于初步發現了音樂的奧秘,歸結出畢達哥拉斯的琴弦律:
  
  (1) 當兩個音的弦長成為簡單整數比時,同時或連續彈奏,所發出的聲音是和諧悅耳的;
  
  (2) 兩音弦長之比為4:3,3:2及2:1時,是和諧的,并且音程分別為四度、五度及八度。
  
  也就是說,如果兩根繃得一樣緊的弦的長度之比是2:1,同時或連續彈奏,就會發出相差八度的諧音;而如果兩條弦的長度的比是3:2時,就會發出另一種諧音,短弦發出的音比長弦發出的音高五度;等等。
  
  物理學家伽利略(1564-1642)發現弦振動的頻率跟弦長成反比。因此,我們可以將畢達哥拉斯所采用的“弦長”改為“頻率”來定一個音的高低。從而畢達哥拉斯的發現就是:兩音的頻率比為1:2,2:3及3:4時,分別相差八度、五度及四度音。例如,頻率為200與300的兩音恰好相差五度音。
  
  圖1
  
  圖2單弦琴
  
  畢達哥拉斯音律是弦長的簡單整數比。聲音透過一些簡單而固定的比例,形成令人喜悅
  
  的和諧音樂,這就是一種特別的數學表現。不僅如此,和諧的比例還貫穿于整個藝術、大自然和人生之中。畢達哥拉斯的門徒們相信星球距離地球也成簡單整數比,它們繞地球運行時會發出美妙的球體音樂。開普勒(1571-1630)從音樂長久為人所尊敬的神奇比例中,發現天上行星運行的規則:從太陽的位置觀察,土星在近日點時,是以每天135秒速度移動一個弧度距離,在遠日點則只需106秒,這兩個數字之比約為5:4,恰等于產生大三度音程的兩根弦的振動比例;而木星會產生一個小三度音程;火星則是完全五度音程。這樣,每個星球似乎都會產生一個音樂上的比例數字。博伊西斯(475-524)則將和諧分為三個等級:最初級的是樂器的音樂,包括歌唱及樂器演奏出來的音樂;其次是人類的音樂,講究身體與靈魂的調和、平衡與恰當的比例;最完美的調和是世界的音樂,包括行星的井然有序之運行、元素的適當

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