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化圓為方問題

來源:不詳       更新時間:2011-9-3 11:16:29
 

  化圓為方問題(problemofquadratureofcircle)是二千四百多年前古希臘人提出的三大幾何作圖問題之一,即求作一個正方形,使其面積等于已知圓的面積。其難度在于作圖使用工具的限制。古希臘人要求幾何作圖只許使用直尺(沒有刻度,只能作直線的尺)和圓規。最早研究這問題的是安納薩戈拉斯,他因「不敬神」的罪名被捕入獄,在獄中潛心研究化圓為方問題,可惜他的結果失傳了。以后著名的研究者更有希波克拉底、安提豐、希皮亞斯等人。
  
  標尺作圖問題曾吸引許多人研究,但無一成功。化圓為方問題,實際上就是用直尺圓規作出線段π的問題。1882年法國數學家林德曼(1852-1939)證明了π是超越數,同時證明了圓為方問題是標尺作圖不可能的問題。因為十九世紀有人證明了若設任意給定長度單位,則標尺可作的線段長必為代數數。而化圓為方問題相當于求作長為√π的線段,但√π并非代數數,故此標尺不可作。
  
  二千年間,盡管對化圓為方問題上的研究沒有成功,但卻發現了一些特殊曲線。希臘安提豐(公元前430)為解決此問題而提出的「窮竭法」,是近代極限論的雛形。大意是指先作圓內接正方形(或正6邊形),然后每次將邊數加倍,得內接8、16、32、…邊形,他相信「最后」的正多邊形必與圓周重合,這樣就可以化圓為方了。雖然結論是錯誤的,但卻提供了求圓面積的近似方法,成為阿基米德計算圓周率方法的先導,與中國劉徽的割圓術不謀而合,對窮竭法等科學方法的建立產生直接影響。
  
  其實,若不受標尺的限制,化圓為方問題并非難事,歐洲文藝復興時代的大師芬蘭數學家達芬奇(1452-1519)用已知圓為底,圓半徑的1/2為高的圓柱,在平面上滾動一周,所得的矩形,其面積恰為圓的面積,如圖,
  


  所以所得矩形的面積=r/2.2πr=πr2,然后再將矩形化為等積的正方形即可。
  
  

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