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探究逼近根號值

來源:不詳       更新時間:2013-3-10 21:44:39
 
作者:學夫子
  
  我曾經在《用除法計算開方》一文里提到用二分法逼近根號值的方法,今天再來介紹一種方法,來自于臺灣一名數學研究員的論文。先介紹基本過程,然后介紹原理,以逼近√2為例:
  
  任意取一正分數,將其分子分母相加,作為新分數的分母,將其分子與分母的兩倍相加,作為新分數的分子;再次對新分數進行同樣的步驟,得到的新分數值就會越來越逼近根號2.以1/2為例:
  
  而我們都知道的,√2=1.4142135623,上面的結果,已經非常接近,若要想得到更為精確的值,可以照著這個步驟繼續下去。越到后面越精確。
  
  精妙之處不在于這方法能無限接近根號2數值,而在于不管我們初始分數取什么,他都能接近。殊途同歸,具有自動糾錯的功能,這才是其精妙之處!不信,你取5/1來試……
  
  為何上面的過程會有這樣的效果?假設初始分數為a/b,那么其下一個分數就為:
  
  為了說明問題,我們需要對上面的分數進行改裝:
  
  那么根據我們的步驟,下一個步驟就是要把我們的x代換成(x+2)/(x+1),以此下去,我們的x與(x+2)/(x+1)就變得非常接近,設這個分數的極限值為K,那么有:
  
  解得k=√2,也就是這個過程下去的極限值為√2。
  
  我們也可以從連分數的角度來看待這個問題,將(x+2)/(x+1)寫成1+1/(x+1).那么下一步就是要把x換成1+1/(x+1),以此寫下去,將得到下面的連分數:(具體過程就交給各位啦)
  
  而這剛好就是√2的連分數,看來這個方法的本質還是連分數逼近。搞透這個原理,要理解下面的推廣就不是難事:
  
  將上述步驟中用n代替2,將得到逼近√n的分數,也就是只需要重復執行下面的步驟,就可以得到√n的的近似值:
  
  比如我們要逼近√7,從2/3開始,進行下面的步驟:
  
  而√7=2.646……
  
  用前面一樣的原理,都能很容易地對其進行解釋。要說也不是很新鮮,因為事實上在前面有關連分數的文章中,已經隱隱約約就有這種思想。
  
  說道這里,我們自然會問,能否用這種方法逼近一個數的高次方根?答案是肯定的。只不過我們要對這個方法進行改進,事實上,文中的藍色字部分才是精髓,下一篇文章我們就將采用這個方法,來逼近高次方根。(來源:學夫子數學博客)

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