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二次方程根的分布問題中對稱軸位置確定

來源:不詳       更新時間:2012-9-9 21:03:28
 
二次方程根的分布問題絕對是重中之重,不僅是不等式里的重點,而且常與解析幾何,導數等內容結合起來作為大題考察。我們知道的是,對于二次方程根的分布問題,不管是什么情況,只需要搞定三個方面:判別式;對稱軸范圍以及端點函數值符號。只要這三個方面都考慮進去,那么關于此類問題也就解決,只是在一些特殊情況下,有些因素沒有限制,而有時候有些因素用不著考慮,但是大體的方向一定是如此。不過據我在平時教學中的觀察,大多數學生對于判別式和端點函數值符號都能夠準確判定,唯獨對于對稱軸的位置判定往往找不到頭,特別是遇到類似下面這樣的一道題:
  
  這是一個典型的根的分布問題,大多數學生對于判別式與端點的函數值符號都能夠準確判斷,唯獨對于對稱軸的取值范圍不明了,我想大多數學生解決對稱軸問題都是采用觀察方法,一不小心就容易將此題對稱軸的范圍看成(-3,1)或是(-2,0),觀察細致的同學可能會觀察準確的答案,那么有沒有比較嚴謹的辦法解決對稱軸問題?一定非得靠觀察么?本文提供一種方法希望能幫助各位。
  
  只要你注意并且意識到:若二次函數所對應的方程的兩根為x1和x2,那么該函數的對稱軸為x=(x1+x2)/2,那么所有問題就好辦多了。且看:
  
  -3<x1<-2,0<x2<1得到:-3/2<(x1+x2)/2<-1/2,所以該題對稱軸的范圍是(-3/2,-1/2)
  
  下次在你沒有把握的情況下,就可以按照這種方法做,通過兩個根的范圍得到(x1+x2)/2的范圍,這就是對稱軸的范圍。當無法得到(x1+x2)/2的范圍時,說明這個時候對稱軸沒有限制,這其中也可以結合線性規劃進一步確定。舉一些例子
  
  1:m為何值時,關于x的方程8x2-(m-1)x+m-7=0的兩根均大于1?
  
  x1>1,x2>1,(x1+x2)/2>1所以對稱軸的范圍是(1,+∞)
  
  2:已知α,β是方程x2+(2m-1)x+4-2m的兩根,且α<2<β,求m的取值范圍。
  
  α<2,β>2,無法得到(α+β)/2的范圍,事實上可以看做-∞<α<2,2<β<+∞,得到-∞<(α+β)/2<+∞,也就是說對稱軸沒有限制。當然若覺得此法不嚴謹,可將α和β看做兩自變量,利用線性規劃解決。(來源:學夫子數學博客)

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