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用均值不等式求解一類函數值域

來源:不詳       更新時間:2012-4-21 12:56:17
 
作者:學夫子
  
  這是中學數學里面比較重要的內容。我在這里總結總結一般的方法,以方便大家的學習。很多學生不太了解其中的變換方式,以為是一項技巧性比較強的活,其實不然,里面其實只需要簡單的步驟。
  
  在求解兩個多項式之商類型函數的值域時,可以考慮將之配湊成均值不等式求解。求解不是問題,重點在配了,如何配才能配成均值不等式?一句話可以回答:想方設法將分子的未知項配湊成分母的形式。就這一道題而言。分母刨開2不看,就是一個x-1,那么我們就盡量將分子的每一個x都配湊成,這還好辦,x=x-1+1
  
  如果你對這個過程不熟悉,你就可以將令t=x-1,則原函數變成:
  
  然后再用均值不等式求解即可。顯然可以看出來,我們的基本方向,就是想把分母換成單一的字母,從而方便我們的分離系數。因為只有當分母為單一元素的時候,才能夠分離。中學數學里很多時候都用這種方法,比如在我們求解函數解析式的一類題目時。
  
  相信大家還能記得起我們的方法,那就是換元,令t=2x+5,反解x,帶入右邊將之化成關于t的函數,從而求解出f(x)。這樣做的根本目的,無非就是想把左邊括號里的多項式換成單個字母,從而求解。這和我們求上面求值域的方法是不是如出一轍?借助這種思想,我們當然就可以給一開始的什么“配湊法”也搞一個換元法:
  
  中學數學之所以很多學生感到復雜,無非就是因為內容太多,方法太多.其實很多數學思想都是相通的.如果在平時的數學教學中能夠將那些看起來不同的思想統一起來,對學生的學習當然是大有裨益的.(來源:學夫子數學博客)

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