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為何復數角度運算法則和對數如此雷同

來源:不詳       更新時間:2012-4-21 12:56:06
 
作者:學夫子
  
  如果你注意到復數角度的運算法則,你便會發現他與對數的運算法則是如此的相似,這當然不可能是巧合。這樣一個運算法則的好處是顯而易見的,他將復雜的角度運算轉變為簡單的加減乘除,因為我們知道求反三角函數并非輕而易舉之事,在涉及到反三角函數的一些題目,運用復數往往可以帶來意想不到的效果。我們先來看看角度運算與對數運算之間的聯系:
  
  設復數Z的夾角為argz,則有下面的運算法則成立:
  
  很明顯,這和下面的對數運算法則簡直就是如出一轍:
  
  這里面到底有何關系使得他們的預算法則如此雷同?如果你注意到下面的式子成立,那么一切便是非常顯然的事情:為了方便,我們只討論角度不是π/2和-π/2的時候.
  
  如此一來,分別在兩邊取對數就有:
  
  現在再回頭看角度的運算法則,就能夠理解他為什么和對數運算法則如此雷同的原因了.正是因為這些運算法則,使得在很多時候運用復數來求解三角函數題就顯得非常簡便,以幾個例子說明:
  
  例1:若arctanx+arctany+arctanz=π,則x+y+z=xyz
  
  證明:設arctanx=arg(1+xi),則根據條件有:
  
  arg(1+xi)+arg(1+yi)+arg(1+zi)=arg([(1+xi)(1+yi)(1+zi)]=π.
  
  這說明復數(1+xi)(1+yi)(1+zi)的角度為π,也就是說其虛部為零,即:
  
  x+y+z-xyz=0.得證.
  
  例2:如圖是三個大小相等的正方形,證明∠1+∠2+∠3=π/2.
  
  這是一道非常經典的題目了,有很多種證明方法,其中復數方法算是比較簡潔的,我們建立復平面坐標系,正方形邊長為1,則Z1=1+i,Z2=2+i,Z3=3+i.那么:
  
  ∠1+∠2+∠3=argZ1+argZ2+argZ3=arg(Z1×Z2×Z3)=arg[(1+i)(2+i)(3+i)]=arg(10i)=π/2.
  
  當然類似的題目還有很多,在這里就不多說了.(來源:學夫子數學博客)

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