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當橢圓上一點與兩焦點成直角三角形

來源:不詳       更新時間:2012-1-17 11:21:12
 

      這種問題比較常見,經常都會出現一個橢圓里的直角三角形,有的時候是讓你計算,有的時候是讓你解一些參數的范圍。當橢圓上一點和兩焦點形成直角三角形時,其實不外乎三種情況。這里討論的都是F1F2為直角三角形斜邊的情況
      一種是曲線上有一個不在Y軸上的點能與兩焦點構成直角三角形
     

      在這種情況下,一定還有其他點,而且一定有四個不同的點能與焦點形成直角三角形,因為如圖所示,若我們以原點為圓心,C為半徑做圓,那么滿足條件的P點一定在圓上,而這個圓與橢圓的焦點若不在Y軸上的話,那么一定就有四個焦點,這從直觀的角度就可以看出來。在這種情況下涉及到的不等式,就是圓的半徑大于短軸,也就是c>b,所以如果讓你求什么離心率的范圍啊啥的,就可以利用不等關系,而若是相等關系嘛,那就是勾股定理了,在結合橢圓的定義,一般情況都能解答題目。
      另一種情況就是當橢圓上有一個在Y軸上的點能與焦點形成直角三角形
     
      這種情況就很簡單了,直觀的角度就能看出來,此處最好的等量關系就是c=b,如果遇到這樣的題目,什么勾股定理你都不用,c=b,解決一切問題。
      最后一種情況,那就是橢圓上不存在這樣的點,使得這個點和焦點無法形成直角三角形
     
      這種情況下的不等關系就是c<b.只要是涉及到什么求范圍啊啥的就利用他。值得注意的是,有些時候題目當中是以一種委婉的方式告訴你的,比如下面這道題目:
      例題:已知橢圓x2/a2+y2/b2=1,焦點為F1,F2,滿足條件:
     
      的點P都在橢圓內部,求橢圓離心率的取值范圍    
      解:這個題目其實就是很委婉地告訴你,在橢圓上不存在使得PF1F2為直角三角形的點P,也就是我們上面的最后一種情況,顯然滿足c<b,利用他就可以求出離心率的范圍:
     
      文章來源:學夫子數學博客

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